广东省汕头市金山中学2017—2018 学年度第一学期高三期中考试
理科数学
1. 已知集合， ，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数，则的图象相邻两条对称轴之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知当≤ 时，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知： ， ： ；则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数是偶函数，那么函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的大致图象是（ ）
A. B. C.
D.
7. 已知函数，若存在实数，使得对任意的实数，都有
≤ ≤ 恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在R 上的函数满足，且对任意的实数，都有恒成立，
则的值为（ ）
A. B. C. D.
9. 在中， ，BC 边上的高等于,则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数，将的图象所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，
再将图像向右平移个单位，得到函数的图像，则的一个单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
11. 定义在内的连续可导函数满足，且对恒成立，则
（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，且函数恰有4 个零点，下列选项中哪个集
合内的值均符合题意（ ）
A. B.
C. D.
13. 若，则的值是__________．
14. 已知点， ，P ，且，则的取值范围是____________.
15. 定义在上的奇函数满足，当时， 则在区间
上的零点个数是__________.
16. 已知函数，如果存在唯一的，使得成立，则实数a 的取值
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范围是__________．
17. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，点在边上且， ，求.
18. 设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）如果≥ 在上恒成立，求实数的取值范围．
19. 数列满足，且. . . 成等比数列. 设.
（1）求数列的通项公式；（亲，题目没有让亲求数列的通项公式）
（2）设，求数列的前n 项和.
20. 在平面直角坐标系中，设点(1，0)，直线: ，点在直线上移动， 是线段与轴的交
点, 异于点R 的点Q 满足： ， .
（1）求动点的轨迹的方程；
（2） 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线
的弦. ，设. 的中点分别为．
问直线是否经过某个定点？如果是，求出该定点，
如果不是，说明理由．
21. 已知函数， .
（1）求证: ， ；
（2）若方程有两个根，设两根分别为,求证: .
22. 在平面直角坐标系中，曲线： （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程
为．
（1）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设直线交曲线于， 两点，交曲线于， 两点，求线段的长．
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）记的最小值为，若正实数， ， 满足，
求证： .
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广东省汕头市金山中学2017—2018 学年度第一学期高三期中考试
理科数学
1. 已知集合， ，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，故选D.
2. 已知函数，则的图象相邻两条对称轴之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以周期,故相邻对称轴之间的距离为半周期，故选
B.
3. 已知当≤ 时，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，不等式恒成立,所以，又，所以，因此是
增函数，故恒成立，所以，解得，综上，故选B.
4. 已知： ， ： ；则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】试题分析：依题意有，故是充分不必要条件.
考点：充要条件．
5. 已知函数是偶函数，那么函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
6
【答案】B
【解析】因为函数是偶函数，所以，解得，若函数有
意义则，解得，故选B.
6. 函数的大致图象是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除C；当时，恒有，
故排除D； 时， ，故可排除B；故选A.
7. 已知函数，若存在实数，使得对任意的实数，都有
≤ ≤ 恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，所以周期，存在实数，使得对任意的实数，都有
≤ ≤ 恒成立，则,解得： ，故选B.
8. 已知定义在R 上的函数满足，且对任意的实数，都有恒成立，
则的值为（ ）
7
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由知，从而，周期，从而，
当时， ，所以，故选D.
9. 在中， ，BC 边上的高等于,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设△ABC 中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC 于D，令∠DAC=θ，如图：
∵在△ABC 中，B= ，BC 边上的高AD=h= ，BC=
∴BD=AD= ，CD=
在Rt△ADC 中， ，故
∴ ．
10. 已知函数，将的图象所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，
再将图像向右平移个单位，得到函数的图像，则的一个单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数的图象所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不
变，再将图像向右平移个单位，得到函数，当 时，
，所以的一个递增区间是，故选C.
11. 定义在内的连续可导函数满足，且对恒成立，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令， ，
∵ ， 恒成立，
∴ ，
∴函数在上单调递增，∴ ．
令，
，
∵ ， 恒成立，
∴ ，
∴函数在上单调递减，
∴
综上可得： ，故选D.
12. 已知函数，且函数恰有4 个零点，下列选项中哪个集
合内的值均符合题意（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】作出的函数图象如图所示：
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令，则由图象可知：当时， 有1 解，
当或时， 有2 解，
当时， 有3 解，
令得，显然是方程的一个解，
而只有一解，故直线直线在上与有1 个交点即可；
（1）若，显然直线与在上有1 个交点，符合题意；
（2）当时，直线与在（﹣∞，1）上的图象相切，且与）在上有1 个交
点，符合题意．所以选A.
13. 若，则的值是__________．
【答案】；
【解析】因为，而，故填.
14. 已知点， ，P ，且，则的取值范围是____________.
【答案】；
【解析】因为， ，
所以
∵ ，∴
10
∴
15. 定义在上的奇函数满足，当时， 则在区间
上的零点个数是__________.
【答案】；
【解析】因为，所以，即函数周期
故，又是定义在R 上奇函数，所以，
由周期性知，
令，解得或，所以， 且
，
故函数f（x）在区间上的零点个数是10，故答案为：10．
16. 已知函数，如果存在唯一的，使得成立，则实数a 的取值
范围是__________．
【答案】
【解析】令,做出图象如图：
存在唯一的，使得成立，即存在唯一的使得，
因为， ，所以只需有唯一满足条件即可.
而，令得，易知
故只需满足解得，
或者当时亦符合条件，此时解不等式组得，综上所述或，
11
故填.
17. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，点在边上且， ，求.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】试题分析：(1)利用正弦定理化边为角，易得： ，结合
两角和正弦公式得，即，所以；（2）利用余弦定理得： ，
结合的面积，组建c 的方程，解之即可.
试题解析：
（Ⅰ）由及正弦定理，
可得，
即，由可得，
所以，
因为，所以，因为，所以.
（Ⅱ）由得，
又因为，所以的面积，
把，带入得，
所以，解得.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角
之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
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18. 设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）如果≥ 在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】有极小值，没有极大值；（2） ．
【解析】试题分析：（1）当时，求导令导函数等于零，列表，通过表格找到函数极值即可；（2）
求恒成立问题一般要分离参数，构造函数求其最小值，只需最小值大于零即可求出取值范围.
试题解析：（1）由已知，当时， ，∴ ，
∴ 在上单调递增，且，
， 随变化如下表：
1
- 0 +
↘ 极小值 ↗
∴ 有极小值，没有极大值．
（2）（方法一）由题可得恒成立，
当时，上式恒成立；
当时， ，又，故
令，则， 令，
∴当时， ， 时， ，
∴ ，
∴ ，解得： ，∴ 的取值范围是．
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（方法二）由题可得， 设，则，
∵ ，∴ 在上单调递增， ， ，
∴ 使得，则，
由知，且时， ， 时， ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ 的取值范围是．
（方法三）由题可得恒成立，
令，则，
∴ 时， ， 时， ，∴ ，
∴ ，解得： ，∴ 的取值范围是．
19. 数列满足，且. . . 成等比数列. 设.
（1）求数列的通项公式；（亲，题目没有让亲求数列的通项公式）
（2）设，求数列的前n 项和.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】试题分析:（1）根据递推关系式及，考虑，可证明
是等差数列，求其通项公式即可；（2）根据 ，
裂项相消，可求数列前n 项和.
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试题解析：（Ⅰ）由及， ， ， 成等比数列得，
即，解得， ，所以，
，
所以数列是首项为3，公差为2 的等差数列，所以 .
（Ⅱ）因为
.
.
20. 在平面直角坐标系中，设点(1，0)，直线: ，点在直线上移动， 是线段与轴的交
点, 异于点R 的点Q 满足： ， .
（1）求动点的轨迹的方程；
（2） 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线
的弦. ，设. 的中点分别为．
问直线是否经过某个定点？如果是，求出该定点，
如果不是，说明理由．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)以直线恒过定点 ．
【解析】试题分析: （1）由已知条件知，点R 是线段FP 的中点，RQ 是线段FP 的垂直平分线，点
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Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，写出抛物线标准方程．
（2）设出直线AB 的方程，把A、B 坐标代入抛物线方程，再利用中点公式求出点M的坐标，同理可得N 的坐
标，求出直线MN 的斜率，得到直线MN 的方程并化简，可看出直线MN 过定点．
试题解析：(Ⅰ)依题意知，直线的方程为： ．点是线段的中点，
且⊥ ，∴ 是线段的垂直平分线．
∴ 是点到直线的距离．
∵点在线段的垂直平分线，∴ ．
故动点的轨迹是以为焦点， 为准线的抛物线，
其方程为： ．
(Ⅱ) 设， ，
由AB⊥CD，且AB、CD 与抛物线均有两个不同的交点，故直线AB、CD 斜率均存在，设直线AB 的方程为
则
（1）—（2）得，即，
代入方程，解得．所以点Ｍ的坐标为．
同理可得： 的坐标为．
直线的斜率为，方程为
，整理得，
显然，不论为何值， 均满足方程，所以直线恒过定点 ．
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21. 已知函数， .
（1）求证: ， ；
（2）若方程有两个根，设两根分别为,求证: .
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】试题分析: （1）利用导数和函数的最值得关系即可证明；（2）令，得
，于是有， 通过两式相加减，以及代入计算可得，
再令，问题转化为，利用放缩和基本不等式即可证明.
试题解析：(1)
.
下面证明：对，令，
则，所以在上单调递增，所以，
即，即证得： .
(2)由，得，于是有， ，
两式相加得， ①
两式相减得，即可得，②
将②代入①可得，
即，
不妨设，则，
由（1）可知，
又因为，
，即.
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22. 在平面直角坐标系中，曲线： （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程
为．
（1）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设直线交曲线于， 两点，交曲线于， 两点，求线段的长．
【答案】（Ⅰ）曲线 ,曲线 ．（Ⅱ） .
【解析】试题分析:
（Ⅰ）由 ， ， ，能求出曲线C1 的极坐标方程，曲线C2 的参数方程消去参数
能求出曲线C2 的普通方程，从而能求出曲线C2 的极坐标方程．
（Ⅱ）联立直线与圆的方程，求交点坐标，计算， 的长，从而根据计
算可得.
试题解析：（Ⅰ）曲线的普通方程为，即，
曲线的极坐标方程为，即．
因为曲线的极坐标方程为，即，
故曲线的直角坐标方程为，即．
（Ⅱ）直线的极坐标方程为，化为直角坐标方程得，
由得或. 则，
由得或则．
故.
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23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）记的最小值为，若正实数， ， 满足，
求证： .
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】试题分析: （Ⅰ）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式f（x）≤10 的解集；（Ⅱ）利
用绝对值不等式，求出m，再利用柯西不等式进行证明．
试题解析：（Ⅰ）
当时，由，解得；
当时，因为，所以；
当时，由，解得
综上可知，不等式的解集为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 的最小值为6，即.（或者 ），所以，
由柯西不等式可得
因此 .
编辑者：重庆家教（重庆家教网)
